大小中3個のサイコロを投げるとき、目の和が8になる場合は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、目の和が8になる場合は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

サイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とすると、

$x + y + z = 8$

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$

すべてのサイコロの目を1以上と考えると、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とすると、

$x' + y' + z' = 8 - 3 = 5$

ただし、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$

この条件を満たす組み合わせを考える。

まず、$x', y', z'$ がすべて0以上の整数である場合の組み合わせを求める。

これは、5個のボールを3つの箱に入れる場合の数に等しく、仕切りを2つ使うことを考えると、

${}_{5+3-1}C_{3-1} = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り

次に、$x', y', z'$ のいずれかが5より大きい場合を考える。

$x' \ge 6$ のとき、$x'' = x' - 6$ とすると、$x'' + y' + z' = 5 - 6 = -1$となり、これは起こりえない。

したがって、すべての組み合わせは条件を満たす。

次に、出た目の組み合わせに対して、大中小の区別を考慮する。

(1,1,6) のとき、3通り

(1,2,5) のとき、6通り

(1,3,4) のとき、6通り

(2,2,4) のとき、3通り

(2,3,3) のとき、3通り

合計は $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$通り

別の考え方として、

$x+y+z = 8$ を $1 \le x,y,z \le 6$ の範囲で満たす整数の組み合わせをすべて列挙する。

(1,1,6) → (1,1,6), (1,6,1), (6,1,1)

(1,2,5) → (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1)

(1,3,4) → (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,1,3), (4,3,1)

(2,2,4) → (2,2,4), (2,4,2), (4,2,2)

(2,3,3) → (2,3,3), (3,2,3), (3,3,2)

合計は $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$通り

3. 最終的な答え

21通り