長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18 $cm^2$ になった。この長方形の対角線の長さを求める。

1. 問題の内容

長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18 $cm^2$ になった。この長方形の対角線の長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cmとする。

針金の長さが18cmであるから、長方形の周の長さは18cmである。したがって、

$2x + 2y = 18$

$x + y = 9$

長方形の面積が18 $cm^2$ であるから、

$xy = 18$

$y = 9 - x$を$xy = 18$に代入すると、

$x(9 - x) = 18$

$9x - x^2 = 18$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

$(x - 3)(x - 6) = 0$

$x = 3, 6$

$x = 3$のとき、$y = 9 - 3 = 6$

$x = 6$のとき、$y = 9 - 6 = 3$

どちらの場合も、長方形の縦と横の長さは3cmと6cmである。

長方形の対角線の長さを $d$ cmとすると、三平方の定理より

$d^2 = x^2 + y^2$

$d^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$d = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{5}$ cm