三角形の3辺の長さ $a=3$, $b=5$, $c=7$ が与えられたとき、$\cos C$ の値と角 $C$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さ $a=3$, $b=5$, $c=7$ が与えられたとき、$\cos C$ の値と角 $C$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて $\cos C$ の値を求めます。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ で表されます。

この式を変形して $\cos C$ について解くと、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

となります。

与えられた値を代入すると、

$\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

となります。

次に、$\cos C = -\frac{1}{2}$ を満たす角 $C$ を求めます。$0^\circ < C < 180^\circ$ の範囲で考えると、$C = 120^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$\cos C = -\frac{1}{2}$

$C = 120^\circ$