与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{9} + \frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{4} = ?$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{9} + \frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{4} = ?$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{9} = \frac{\frac{1}{4}(3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2)}{9} = \frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}{36}$

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{4} = \frac{\frac{1}{4}(x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2)}{4} = \frac{x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2}{16}$

次に、これらの2つの項を足し合わせます。通分するために、分母を144にします。

$\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}{36} = \frac{4(3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2)}{144} = \frac{12x^2 + 8\sqrt{3}xy + 4y^2}{144}$

$\frac{x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2}{16} = \frac{9(x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2)}{144} = \frac{9x^2 - 18\sqrt{3}xy + 27y^2}{144}$

$\frac{12x^2 + 8\sqrt{3}xy + 4y^2}{144} + \frac{9x^2 - 18\sqrt{3}xy + 27y^2}{144} = \frac{12x^2 + 9x^2 + 8\sqrt{3}xy - 18\sqrt{3}xy + 4y^2 + 27y^2}{144} = \frac{21x^2 - 10\sqrt{3}xy + 31y^2}{144}$

元の問題文に間違いがあり、等号の右辺がありません。

もし問題が以下のように訂正されたと仮定すると：

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{3} + \frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{1} = x^2 + y^2$

$\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}{12} + \frac{x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2}{4} = x^2 + y^2$

$\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}{12} + \frac{3(x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2)}{12} = x^2 + y^2$

$\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2 + 3x^2 - 6\sqrt{3}xy + 9y^2}{12} = \frac{6x^2 - 4\sqrt{3}xy + 10y^2}{12}$

$\frac{3x^2 - 2\sqrt{3}xy + 5y^2}{6} \ne x^2 + y^2$

しかし、与えられた数式自体を計算する問題と解釈すると、以下のようになります。

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{9} + \frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{4} = \frac{x^2+y^2}{12}$

$\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}{36} + \frac{x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2}{16}$

$\frac{4(3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2) + 9(x^2 - 2\sqrt{3}xy + 3y^2)}{144}$

$\frac{12x^2 + 8\sqrt{3}xy + 4y^2 + 9x^2 - 18\sqrt{3}xy + 27y^2}{144}$

$\frac{21x^2 - 10\sqrt{3}xy + 31y^2}{144}$

問題文の数式が

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{3} + {\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2 = x^2 + y^2$

であると仮定した場合：

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{3} + {\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2 = \frac{3x^2+2\sqrt{3}xy+y^2}{12} + \frac{x^2-2\sqrt{3}xy+3y^2}{4}$

$= \frac{3x^2+2\sqrt{3}xy+y^2+3x^2-6\sqrt{3}xy+9y^2}{12} = \frac{6x^2 -4\sqrt{3}xy + 10y^2}{12} = \frac{3x^2 -2\sqrt{3}xy + 5y^2}{6}$

これは $x^2 + y^2$ と等しくありません。

もし

$\frac{{\left\{\frac{1}{2}(\sqrt{3}x+y)\right\}}^2}{9} + \frac{{\left\{\frac{1}{2}(x-\sqrt{3}y)\right\}}^2}{1}$を計算する場合は、

$=\frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy+y^2}{36}+\frac{x^2 - 2\sqrt{3}xy+3y^2}{4} = \frac{3x^2 + 2\sqrt{3}xy+y^2}{36}+\frac{9(x^2 - 2\sqrt{3}xy+3y^2)}{36} = \frac{12x^2 -16\sqrt{3}xy + 28y^2}{36} = \frac{3x^2 - 4\sqrt{3}xy + 7y^2}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{21x^2 - 10\sqrt{3}xy + 31y^2}{144}$