以下の6つの問題について、指定された条件から未知の値を求めます。 (1) $DE // BC$, $AE = 3$cm, $DE = 2$cm, $CE = 6$cmのとき、$BC$の長さを求める。 (2) $\angle ABC = \angle ACD$, $AB = 6$cm, $BC = 4$cm, $CA = 3$cmのとき、$AD$の長さを求める。 (3) 底面の1辺が4cm、高さが3cmの正四角錐の体積を求める。 (4) $AB = AC$, $BC = 6$cmである二等辺三角形$ABC$の頂角$\angle A$の二等分線$AD$の長さが4cmのとき、$AB = AC$の長さを求める。 (5) 円周上に4点$A, B, C, D$をとり、$AC$と$BD$の交点を$E$とする。$\angle ABE = 15^\circ$, $\angle BDC = 65^\circ$のとき、$\angle AEB$を求める。 (6) 半径が3cmの球の体積を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの問題について、指定された条件から未知の値を求めます。

(1) $DE // BC$, $AE = 3$cm, $DE = 2$cm, $CE = 6$cmのとき、$BC$の長さを求める。

(2) $\angle ABC = \angle ACD$, $AB = 6$cm, $BC = 4$cm, $CA = 3$cmのとき、$AD$の長さを求める。

(3) 底面の1辺が4cm、高さが3cmの正四角錐の体積を求める。

(4) $AB = AC$, $BC = 6$cmである二等辺三角形$ABC$の頂角$\angle A$の二等分線$AD$の長さが4cmのとき、$AB = AC$の長さを求める。

(5) 円周上に4点$A, B, C, D$をとり、$AC$と$BD$の交点を$E$とする。$\angle ABE = 15^\circ$, $\angle BDC = 65^\circ$のとき、$\angle AEB$を求める。

(6) 半径が3cmの球の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似であるから、$AE:AC = DE:BC$。

$AC = AE + EC = 3 + 6 = 9$cmより、

$3:9 = 2:BC$

$3BC = 18$

$BC = 6$

(2) $\triangle ABC$と$\triangle DCA$において、$\angle ABC = \angle ACD$, $\angle BAC = \angle DCA$ (共通の角)なので、$\triangle ABC \sim \triangle DCA$。

したがって、$AB:DC = BC:CA = CA:AD$。

$BC:CA = CA:AD$より、$4:3 = 3:AD$

$4AD = 9$

$AD = \frac{9}{4} = 2.25$

(3) 正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$で求められる。

底面積 $= 4 \times 4 = 16$cm$^2$

高さ $= 3$cm

体積 $= \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16$cm$^3$

(4) $\triangle ABD$において、三平方の定理より、$AB^2 = AD^2 + BD^2$。

$BC = 6$cmより、$BD = \frac{BC}{2} = 3$cm。

$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$AB = \sqrt{25} = 5$

$AB = AC = 5$

(5) $\angle DBC = \angle DAC = 15^\circ$ (円周角の定理)。

$\angle ADB = \angle ACB = 65^\circ$ (円周角の定理)。

$\angle AEB = \angle ABE + \angle BAE$の外角であり、$BAE = \angle BAC - \angle EAC = \angle BAC - \angle DBC = \angle BAC - 15^\circ$である。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC$. ここで $\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC$

$\angle AEB = 15^\circ + 65^\circ = 80^\circ$

(6) 球の体積は、$\frac{4}{3}\pi r^3$で求められる。

$r = 3$cmより、体積 $= \frac{4}{3} \pi (3^3) = \frac{4}{3} \pi (27) = 36\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 6$ cm

(2) $AD = 2.25$ cm

(3) 正四角錐の体積は $16$ cm$^3$

(4) $AB = AC = 5$ cm

(5) $\angle AEB = 80^\circ$

(6) 球の体積は $36\pi$ cm$^3$