(1) 三角形ABCにおいて、AB = 6cm, AC = 5cm, AD = 3cm, ∠AED = ∠ABCであるとき、線分AEの長さを求める。 (2) 平行線l, mがあり、角度が与えられているとき、∠xの大きさを求める。 (3) 円錐の展開図において、展開図の中心角と母線の長さが与えられているとき、底面の半径を求める。 (4) 底面の半径4cm、高さ3cmの円柱と、底面の半径4cm、高さ3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める。 (5) 体積144 cm³の円錐を底面に平行な平面で切断したとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が2:1であった。このとき、上の部分の円錐の体積を求める。

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCにおいて、AB = 6cm, AC = 5cm, AD = 3cm, ∠AED = ∠ABCであるとき、線分AEの長さを求める。

(2) 平行線l, mがあり、角度が与えられているとき、∠xの大きさを求める。

(3) 円錐の展開図において、展開図の中心角と母線の長さが与えられているとき、底面の半径を求める。

(4) 底面の半径4cm、高さ3cmの円柱と、底面の半径4cm、高さ3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める。

(5) 体積144 cm³の円錐を底面に平行な平面で切断したとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が2:1であった。このとき、上の部分の円錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ADEと三角形ABCにおいて、

∠AED = ∠ABC

∠DAE = ∠BAC (共通)

よって、三角形ADE ∽ 三角形ABC

したがって、

$AD/AB = AE/AC$

$3/6 = AE/5$

$AE = 5/2 = 2.5$

(2)

l // mより、錯角は等しいので、lと交わる直線とmのなす角は40°である。

よって、∠x = 150° - 40° = 110°

(3)

円錐の展開図において、扇形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しい。

扇形の弧の長さは、$2π * 8 * (150/360) = 20π/3$

底面の円周の長さは、$2πr$ （rは底面の半径）

よって、$2πr = 20π/3$

$r = 10/3$

(4)

円柱の体積は、$πr^2h = π * 4^2 * 3 = 48π$ cm³

円錐の体積は、$(1/3)πr^2h = (1/3) * π * 4^2 * 3 = 16π$ cm³

合わせた立体の体積は、$48π + 16π = 64π$ cm³

(5)

相似比が1:2なので、体積比は1³ : 2³ = 1:8となる。

全体の円錐の体積は144 cm³なので、上の部分の円錐の体積をxとすると、

x / 144 = 1/8

x = 144/8 = 18 cm³

3. 最終的な答え

(1) 2.5

(2) 110

(3) 10/3

(4) 64π

(5) 18