長方形ABCDがあり、AB=5cm、BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折り曲げたときの折り目をPQとし、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。このとき、 (1) BPの長さを求める。 (2) AG:GQ:QDの比を求める。 (3) 四角形EPQGの面積を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=5cm、BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折り曲げたときの折り目をPQとし、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。このとき、

(1) BPの長さを求める。

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

まず、CP = EPである。BP = xとすると、AP = 9 - xとなる。

直角三角形EBPにおいて、三平方の定理より

$BE^2 + BP^2 = EP^2$

$3^2 + x^2 = (9-x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

したがって、BP = 4cmである。

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

まず、$\triangle ABE$と$\triangle FPQ$について考える。

$AE = AB - BE = 5 - 3 = 2$

$FQ=DQ$であり、$AD=BC=9$より、$AQ = AD-QD = 9-QD$となる。

$DQ^2=QC^2=PC^2=FP^2$なので、$FP=PC=9-x=5$。

$\triangle FPQ$において、$FP=5, PQ=AB=5$、さらに$\angle FPQ = \angle DQP = \angle CQP$となり、$\angle CPQ + \angle DPQ = 180^\circ$より、$\angle FPQ = 90^\circ$。つまり、$\triangle FPQ$は$FP=PQ=5$の直角二等辺三角形である。

よって、$FQ = \sqrt{FP^2+PQ^2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。したがって、$DQ = 5\sqrt{2}$。

すると、$AQ = 9 - 5\sqrt{2}$である。

次に、$\triangle AEG$と$\triangle QFG$について考える。$\angle EAG = \angle FQG$（錯角）、$\angle AGE = \angle FGE$（対頂角）より、$\triangle AEG \sim \triangle QFG$。

よって、$AG:GQ = AE:QF = 2:5\sqrt{2}$。

$AG = \frac{2}{2+5\sqrt{2}} AQ$

$GQ = \frac{5\sqrt{2}}{2+5\sqrt{2}} AQ$

$QD = AD - AQ = 9 - AQ$なので、$AQ=9-5\sqrt{2}$を代入して

$AG:GQ:QD = 2:5\sqrt{2} : \frac{(2+5\sqrt{2}) (9 - (2+5\sqrt{2}) AQ)}{AQ}$

$AG:GQ = 2:5\sqrt{2}$より、$AG:GQ:QD = AE:FQ: (AD-AQ)= 2 : 5\sqrt{2} : (9 - AQ) = 2: 5\sqrt{2} : 5\sqrt{2}$

$AG:GQ:QD = 2: 5\sqrt{2} : 5\sqrt{2}$

$AE:FQ= 2:5\sqrt{2}$であることより、$AG:GQ = 2:5\sqrt{2}$。$DQ= 5\sqrt{2}$。

$\triangle AEQ \sim \triangle AFG$

$\triangle AEG \sim \triangle QFG$より、$AG:GQ = AE:FQ = 2:5\sqrt{2}$.

$AQ = AG+GQ$であり、$AG:GQ = 2:5\sqrt{2}$より、$AG = \frac{2}{2+5\sqrt{2}}AQ$, $GQ = \frac{5\sqrt{2}}{2+5\sqrt{2}}AQ$.

$AQ+QD = AD=9$なので、$QD = 9-AQ$. よって、$AG:GQ:QD = \frac{2}{2+5\sqrt{2}}AQ : \frac{5\sqrt{2}}{2+5\sqrt{2}}AQ : 9-AQ$.

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

3. 最終的な答え

(1) BPの長さ：4cm

(2) AG:GQ:QDの比：未解答

(3) 四角形EPQGの面積：未解答