三角形ABCにおいて、3辺の長さが $a=2$, $b=3$, $c=4$ であるとき、$\cos A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、3辺の長さが $a=2$, $b=3$, $c=4$ であるとき、$\cos A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。

余弦定理は、三角形の3辺の長さ $a, b, c$ と一つの角 $A$ について、以下の関係が成り立つことを示す。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この式を変形して $\cos A$ を求める式にする。

$2bc\cos A = b^2 + c^2 - a^2$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた $a=2$, $b=3$, $c=4$ を代入して計算する。

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2\cdot3\cdot4}$

$\cos A = \frac{9 + 16 - 4}{24}$

$\cos A = \frac{21}{24}$

$\cos A = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{7}{8}$