一辺の長さが12cmの正方形ABCDがあります。 E, Fは辺AB上の点でAE=EF=FBであり、G, Hは辺DC上の点でDG = GH = HCです。PはEHとFGの交点、QはEHとBGの交点です。 (1) EHの長さを求めよ。 (2) PQの長さを求めよ。 (3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがあります。

E, Fは辺AB上の点でAE=EF=FBであり、G, Hは辺DC上の点でDG = GH = HCです。PはEHとFGの交点、QはEHとBGの交点です。

(1) EHの長さを求めよ。

(2) PQの長さを求めよ。

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

三角形AEHにおいて三平方の定理を用いる。

AE = AB/3 = 12/3 = 4 cm

AH = AD = 12 cm

$EH = \sqrt{AE^2 + AH^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ cm

(2) PQの長さを求める。

PQの長さを求めるためには点Pと点Qの座標をそれぞれ求める必要がある。

まず、点Eを原点(0, 0)とし、ABをx軸、ADをy軸とする座標系を定める。

この時、各点の座標は以下のようになる。

A(0, 0), B(12, 0), C(12, 12), D(0, 12), E(4, 0), F(8, 0), G(4, 12), H(8, 12)

直線EHの方程式は、傾きが$\frac{12-0}{8-4} = \frac{12}{4} = 3$ であり、点E(4, 0)を通ることから、

$y = 3(x - 4)$

$y = 3x - 12$

直線FGの方程式は、傾きが$\frac{12-0}{4-8} = \frac{12}{-4} = -3$ であり、点F(8, 0)を通ることから、

$y = -3(x - 8)$

$y = -3x + 24$

点Pは直線EHと直線FGの交点なので、

$3x - 12 = -3x + 24$

$6x = 36$

$x = 6$

$y = 3(6) - 12 = 18 - 12 = 6$

よって、P(6, 6)

直線BGの方程式は、傾きが$\frac{12-0}{4-12} = \frac{12}{-8} = -\frac{3}{2}$ であり、点B(12, 0)を通ることから、

$y = -\frac{3}{2}(x - 12)$

$y = -\frac{3}{2}x + 18$

点Qは直線EHと直線BGの交点なので、

$3x - 12 = -\frac{3}{2}x + 18$

$6x - 24 = -3x + 36$

$9x = 60$

$x = \frac{20}{3}$

$y = 3(\frac{20}{3}) - 12 = 20 - 12 = 8$

よって、Q($\frac{20}{3}$, 8)

PQの長さは、

$PQ = \sqrt{(\frac{20}{3} - 6)^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 4} = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$ cm

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

四角形PFBQは台形なので、面積は

$S = \frac{(PF + BQ) \times FB}{2}$

PF = $\sqrt{(8-6)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

BQ = $\sqrt{(12-\frac{20}{3})^2 + (0-8)^2} = \sqrt{(\frac{16}{3})^2 + 64} = \sqrt{\frac{256}{9} + \frac{576}{9}} = \sqrt{\frac{832}{9}} = \frac{8\sqrt{13}}{3}$

FB = 4 cm

四角形PFBQの面積は台形PFBQの面積ではない。

四角形PFBQの面積は、三角形FBQの面積 + 三角形PFBの面積で求められる。

三角形FBQの面積 = $\frac{1}{2} \times FB \times Qのy座標 = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$

三角形PFBの面積 = $\frac{1}{2} \times FB \times Pのy座標 = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$

四角形PFBQの面積 = 16 + 12 = 28 $cm^2$

3. 最終的な答え

(1) EHの長さ: $4\sqrt{10}$ cm

(2) PQの長さ: $\frac{2\sqrt{10}}{3}$ cm

(3) 四角形PFBQの面積: 28 $cm^2$