長方形ABCDがあり、AB=5cm, BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。また、EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG:GQ:QDの比を求めよ。 (3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=5cm, BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。また、EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG:GQ:QDの比を求めよ。

(3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さはすでに与えられています。

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

まず、$\triangle ABE \sim \triangle FQA$を示す。

$\angle EAB = \angle QFA = 90^\circ$

$\angle AEB = 90^\circ - \angle EBA$

$\angle AFQ = 90^\circ - \angle QFD$

$\angle QFD = \angle BPE$ (折り返し)

$\angle BPE = \angle PEB$ (BE=3cmより、円周角の関係)

$\angle PEB = \angle EBA$

よって、$\angle AEB = \angle AFQ$

したがって、$\triangle ABE \sim \triangle FQA$

$AQ = AB \times \frac{AD}{BE} = \frac{5}{3}AD$

$AQ = \frac{5}{3} \times 9 = 15$

$QD = AD - AQ = 9 - 15 = -6$ (これはあり得ない)

$AQ = x$とおくと、$FQ = 9, AF = 5$

$\triangle FQA$において三平方の定理より、$x^2 + 5^2 = 9^2$

$x^2 = 81-25 = 56$

$x = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

$\triangle AG E \sim \triangle QGF$より、$AG: GQ = AE : FQ = (5-3):9 = 2:9$

したがって、$AQ = AG + GQ$

$AQ = AG + \frac{9}{2}AG = \frac{11}{2}AG = 2\sqrt{14}$

$AG = \frac{4\sqrt{14}}{11}$

$GQ = \frac{9}{2}AG = \frac{9}{2} \times \frac{4\sqrt{14}}{11} = \frac{18\sqrt{14}}{11}$

$QD = AD - AQ = 9 - 2\sqrt{14}$

したがって、$AG : GQ : QD = \frac{4\sqrt{14}}{11} : \frac{18\sqrt{14}}{11} : 9 - 2\sqrt{14} = 4\sqrt{14} : 18\sqrt{14} : 99 - 22\sqrt{14}$

これは間違っている気がする。

別の解法を試す。

$AQ = x$とおくと、$\triangle ABE \sim \triangle FQA$より、

$AE:FQ = BE:AQ = AB:AF$

$2:9 = 3:x$

$x = \frac{27}{2}$

$AG : GQ = AE: QF = 2 : 9$

$AQ = AG + GQ = AG + \frac{9}{2}AG = \frac{11}{2} AG = \frac{27}{2}$

$AG = \frac{27}{11}$

$GQ = \frac{9}{2} \times \frac{27}{11} = \frac{243}{22}$

$QD = AD - AQ = 5 - \frac{27}{11} = \frac{55-27}{11} = \frac{28}{11}$

$AG:GQ:QD = \frac{27}{11} : \frac{243}{22} : \frac{28}{11} = 54:243:56$

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

まず台形EBPQの面積を求める。

$EB=3, BP = 4, PQ = EF, EQ$

$AQ = \frac{27}{2}$

3. 最終的な答え

(1) BPの長さ: 4cm

(2) AG:GQ:QDの比: 54:243:56

(3) 四角形EPQGの面積: (未解決)