三角形ABCがあり、AB=3, BC=8, AC=7とする。 (1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、三角形ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。 このとき、BC * CE = [アイ]であるから、CE = [ウ]/[エ]である。直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF = [オカ]/[キ]であるから、AF = [クケ]/[コ]である。 (2) 角ABC = [サシ]度である。三角形ABCの内接円の半径は、[ス]√[セ]/[ソ]であり、三角形ABCの内心をIとするとBI = [タ]√[チ]/[ツ]である。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=3, BC=8, AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、三角形ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。

このとき、BC * CE = [アイ]であるから、CE = [ウ]/[エ]である。直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF = [オカ]/[キ]であるから、AF = [クケ]/[コ]である。

(2) 角ABC = [サシ]度である。三角形ABCの内接円の半径は、[ス]√[セ]/[ソ]であり、三角形ABCの内心をIとするとBI = [タ]√[チ]/[ツ]である。

2. 解き方の手順

(1)

方べきの定理より、BC * CE = AC * CD。

$BC \cdot CE = AC \cdot CD$

$8 \cdot CE = 7 \cdot (7-3)$

$8 \cdot CE = 7 \cdot 4$

$8 \cdot CE = 28$

$CE = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$

よって、[アイ] = 28であり、CE = 7/2となる。したがって、[ウ]=7, [エ]=2。

メネラウスの定理より(三角形ABFと直線DEについて考える):

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{7/2}{8 + (-7/2)} \cdot \frac{BF}{AF} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{7/2}{9/2} \cdot \frac{BF}{AF} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{BF}{AF} = 1$

$\frac{7}{12} \cdot \frac{BF}{AF} = 1$

$\frac{BF}{AF} = \frac{12}{7}$

よって、[オカ] = 12、[キ] = 7

$BF = BA + AF$なので、$BF = 3 + AF$。

$\frac{3 + AF}{AF} = \frac{12}{7}$

$7(3 + AF) = 12AF$

$21 + 7AF = 12AF$

$21 = 5AF$

$AF = \frac{21}{5}$

よって、[クケ] = 21、[コ] = 5

(2)

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(\angle ABC)$

$49 = 9 + 64 - 48 \cos(\angle ABC)$

$49 = 73 - 48 \cos(\angle ABC)$

$48 \cos(\angle ABC) = 24$

$\cos(\angle ABC) = \frac{1}{2}$

$\angle ABC = 60^{\circ}$

よって、[サシ] = 60

三角形ABCの面積をSとする。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{3 + 8 + 7}{2} = 9$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-3)(9-8)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

内接円の半径をrとすると、$S = rs$より、

$6\sqrt{3} = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

よって、[ス] = 2、[セ] = 3、[ソ] = 3

BIの長さを求める。

$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ}$

$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC$

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{8}{\sin A} = \frac{7}{\sin 60} = \frac{3}{\sin C}$

$\sin A = \frac{8 \sin 60}{7} = \frac{8 \sqrt{3}}{14} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$AI = \frac{r}{\sin(A/2)}$　は使えなさそう。別の方法を考える。

$\angle BIC = 90 + \frac{A}{2}$

正弦定理を三角形ABIに用いると、

$\frac{BI}{\sin(A/2)} = \frac{AB}{\sin(90+C/2)}$

もしくは、

$\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 30$

内接円の中心から辺ABに下ろした垂線の足をHとすると、IH = r

三角形IBHにおいて、$\sin 30 = \frac{IH}{BI} = \frac{r}{BI}$

$BI = \frac{r}{\sin 30} = \frac{2\sqrt{3}/3}{1/2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

よって、[タ] = 4、[チ] = 3、[ツ] = 3

3. 最終的な答え

(アイ) 28

(ウ)/(エ) 7/2

(オカ)/(キ) 12/7

(クケ)/(コ) 21/5

(サシ) 60

(ス)√[セ]/(ソ) (2√3)/3

(タ)√[チ]/(ツ) (4√3)/3