長方形ABCDがあり、$AB = 5cm$, $BC = 9cm$である。辺AB上に$BE = 3cm$となる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG: GQ: QDの比を求めよ。 (3) 四角形 EPQGの面積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 5cm$, $BC = 9cm$である。辺AB上に$BE = 3cm$となる点Eをとり、頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG: GQ: QDの比を求めよ。

(3) 四角形 EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

EP = CPなので、BC = BP + PC = BP + EP = 9cm

また、$BE^2 + BP^2 = EP^2$となるので、三平方の定理より、$3^2 + BP^2 = (9-BP)^2$

$9 + BP^2 = 81 - 18BP + BP^2$

$18BP = 72$

$BP = 4cm$

(2) AG: GQ: QDの比を求める。

$\triangle ABQ \sim \triangle EFQ$（対頂角と平行線の錯角で二角が等しい）

よって、$AB : EF = 5 : 5 = 1:1$となる。したがって$EF=5$

$AQ = 5x$, $QF=5x$, $AG:GQ=AE:EF=2:5$

$AG=\frac{2}{7}AQ$, $GQ=\frac{5}{7}AQ$

$FQ=QD$より$AQ=5x$

$AQ = AD-QD=5cm-5x$

$\triangle AEG \sim \triangle QGD$

$AE=AB-BE=5-3=2$, $QD=AD-AQ=5-AQ$, $AG:GQ=AE:EF=2:5$

$AQ+QD=5$なので、$AQ=5-QD$

$\triangle AGG \sim \triangle QGE$

$AG:GQ = 2:5$

$AE || CD$より, $\triangle AEG \sim \triangle QGD$

$AE=2$なので

$AE:QD=AG:GQ$

$2:QD=2:5$

$QD=5cm$

$AQ=0$

よってこれはあり得ない。

$AE \parallel DF$より, $\triangle AEG \sim \triangle FQG$

$AG:QG = AE:FQ = 2: FQ$

また、$DF = AB = 5$

$\triangle ABQと\triangle FEQは相似なので、AB:EF = AQ:QF$

$5:5=AQ:QF$より、$AQ=QF$

$AQ:QD=AQ:(AD-AQ)=AQ:(5-AQ)$

△AEG∽△QGDより, $AG:GQ=AE:QD$

また, $AQ=AG+GQ$なので, $AG:AQ = AG:(AG+GQ)$

したがって, $AG:AQ=AE:(AE+QD)=2:(2+QD)$

$AQ=1.6$

$QD=5-1.6=3.4$

$AG=\frac{2}{7}AQ=2/7(1.6)=0.457$

$GQ=\frac{5}{7}AQ=\frac{5}{7}(1.6)=1.143$

$AG:GQ=0.457:1.143=2:5$

$AG:GQ:QD = 2:5:17$は正しくない

$AG:GQ:QD=?$

(3) 四角形 EPQGの面積を求める。

3. 最終的な答え

(1) 4cm

(2)

(3)