三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ の値を求める

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

したがって、

$2bc \cos A = b^2 + c^2 - a^2$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$a=2$, $b=3$, $c=4$を代入すると、

$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

(2) $\sin A$ の値を求める

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$

($\sin A > 0$ であるので、正の平方根をとる)

$\cos A = \frac{7}{8}$ を代入すると、

$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{7}{8}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{8}$