数学的帰納法を用いて、以下の等式を証明する。 $4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、以下の等式を証明する。

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$

2. 解き方の手順

(1) n = 1のとき

左辺は4。

右辺は$1 - (-3)^1 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$。

したがって、n = 1のとき等式は成り立つ。

(2) n = kのとき等式が成り立つと仮定する。つまり、

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{k-1} = 1 - (-3)^k$

が成り立つと仮定する。

(3) n = k + 1のとき、等式が成り立つことを示す。つまり、

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{k-1} + 4 \cdot (-3)^k = 1 - (-3)^{k+1}$

を示す。

左辺は、帰納法の仮定より

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{k-1} + 4 \cdot (-3)^k = 1 - (-3)^k + 4 \cdot (-3)^k$

$= 1 + 3 \cdot (-3)^k$

$= 1 + (-3) \cdot (-3)^{k-1} \cdot 3$

$= 1 + (-3)^{k+1}$

したがって、n = k + 1のときも等式は成り立つ。

(1), (2), (3)より、数学的帰納法によって、与えられた等式はすべての自然数nについて成り立つ。

3. 最終的な答え

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \cdots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$

は数学的帰納法により証明された。