2直線 $8x + 7y - 19 = 0$ と $3x - 5y + 6 = 0$ の交点と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2直線 $8x + 7y - 19 = 0$ と $3x - 5y + 6 = 0$ の交点と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求めます。

$8x + 7y - 19 = 0$ と $3x - 5y + 6 = 0$ を連立させて解きます。

1つ目の式を5倍、2つ目の式を7倍すると、

$40x + 35y - 95 = 0$

$21x - 35y + 42 = 0$

2つの式を足し合わせると、

$61x - 53 = 0$

$61x = 53$

$x = \frac{53}{61}$

$x = \frac{53}{61}$ を $3x - 5y + 6 = 0$ に代入すると、

$3(\frac{53}{61}) - 5y + 6 = 0$

$\frac{159}{61} - 5y + 6 = 0$

$\frac{159}{61} - 5y + \frac{366}{61} = 0$

$\frac{525}{61} - 5y = 0$

$5y = \frac{525}{61}$

$y = \frac{105}{61}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{53}{61}, \frac{105}{61})$ です。

次に、交点 $(\frac{53}{61}, \frac{105}{61})$ と点 $(-4, 1)$ を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾き $m$ は、

$m = \frac{1 - \frac{105}{61}}{-4 - \frac{53}{61}} = \frac{\frac{61 - 105}{61}}{\frac{-244 - 53}{61}} = \frac{\frac{-44}{61}}{\frac{-297}{61}} = \frac{-44}{-297} = \frac{44}{297} = \frac{4}{27}$

したがって、直線の方程式は $y - 1 = \frac{4}{27}(x + 4)$ と表せます。

$y - 1 = \frac{4}{27}x + \frac{16}{27}$

$y = \frac{4}{27}x + \frac{16}{27} + 1$

$y = \frac{4}{27}x + \frac{16}{27} + \frac{27}{27}$

$y = \frac{4}{27}x + \frac{43}{27}$

両辺に27をかけると、

$27y = 4x + 43$

$4x - 27y + 43 = 0$

3. 最終的な答え

$4x - 27y + 43 = 0$