不等式 $\log_5{\frac{x-4}{3}} \le \log_{25}{x}$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $\log_5{\frac{x-4}{3}} \le \log_{25}{x}$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 真数条件から、$\frac{x-4}{3} > 0$ かつ $x > 0$ である必要があります。

$\frac{x-4}{3} > 0$ より $x-4 > 0$ なので、$x > 4$。

$x>0$ と合わせて、$x > 4$ が必要です。

(2) 底の変換公式を使って、不等式を底が5の対数で表します。

$\log_{25}{x} = \frac{\log_5{x}}{\log_5{25}} = \frac{\log_5{x}}{\log_5{5^2}} = \frac{\log_5{x}}{2}$

したがって、与えられた不等式は次のようになります。

$\log_5{\frac{x-4}{3}} \le \frac{1}{2}\log_5{x}$

$\log_5{\frac{x-4}{3}} \le \log_5{x^{\frac{1}{2}}}$

底が5で1より大きいので、真数部分の大小関係は不等号の向きを変えずに比較できます。

$\frac{x-4}{3} \le \sqrt{x}$

$x-4 \le 3\sqrt{x}$

$x - 3\sqrt{x} - 4 \le 0$

(3) $\sqrt{x} = t$ とおくと、$t>0$ であり、

$t^2 - 3t - 4 \le 0$

$(t-4)(t+1) \le 0$

$-1 \le t \le 4$

$t>0$ より、$0 < t \le 4$

$0 < \sqrt{x} \le 4$

$0 < x \le 16$

(4) (1)で求めた $x > 4$ とあわせて、$4 < x \le 16$

3. 最終的な答え

$4 < x \le 16$