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画像に書かれた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

代数学行列式因数分解多項式
2025/6/16

1. 問題の内容

画像に書かれた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を因数分解します。まず、行列式を計算します。
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{vmatrix} = (bc^3 - b^3c) - (ac^3 - a^3c) + (ab^3 - a^3b)$
=bc(c2−b2)−ac(c2−a2)+ab(b2−a2)= bc(c^2 - b^2) - ac(c^2 - a^2) + ab(b^2 - a^2)
=bc(c−b)(c+b)−ac(c−a)(c+a)+ab(b−a)(b+a)= bc(c-b)(c+b) - ac(c-a)(c+a) + ab(b-a)(b+a)
この式は (a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) と因数分解できます。
（この因数分解は、行列式の性質から予想できます。a=ba=bのとき行列式は0になるので、a−ba-bを因数に持つなど。）

3. 最終的な答え

(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

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