$(x+2)(x+1)(x-2)(x-1)$ を展開または因数分解せよ。

## 問題の解答

問題の画像を解析し、質問に答えます。

### 問題1 (1)

1. 問題の内容

$(x+2)(x+1)(x-2)(x-1)$ を展開または因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+2)(x-2)$ と $(x+1)(x-1)$ をそれぞれ計算します。

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 4)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4$

3. 最終的な答え

$x^4 - 5x^2 + 4$

### 問題1 (2)

1. 問題の内容

$8x^2 - 26xy + 15y^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与式を $(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解することを考えます。

$ac = 8$, $bd = 15$, $ad + bc = -26$ となる $a, b, c, d$ を見つけます。

$8 = 4 \times 2$ と $15 = (-5) \times (-3)$ を試してみます。

$(4x - 5y)(2x - 3y) = 8x^2 -12xy - 10xy + 15y^2 = 8x^2 - 22xy + 15y^2$. これは違います。

$8 = 2 \times 4$ と $15 = (-3) \times (-5)$ を試してみます。

$(2x - 5y)(4x - 3y) = 8x^2 - 6xy - 20xy + 15y^2 = 8x^2 - 26xy + 15y^2$. これは合っています。

3. 最終的な答え

$(2x - 5y)(4x - 3y)$

### 問題1 (3)

1. 問題の内容

$x^6 + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^6 + 8 = (x^2)^3 + 2^3$ であることに気づきます。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$a = x^2$, $b = 2$ とすると、

$x^6 + 8 = (x^2 + 2)((x^2)^2 - (x^2)(2) + 2^2) = (x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2)(x^4 - 2x^2 + 4)$

### 問題1 (4)

1. 問題の内容

$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$A = x^2+3$ と置くと

$(A+2x)(A-2x) = A^2-(2x)^2 = (x^2+3)^2 - 4x^2 = x^4+6x^2+9 - 4x^2 = x^4+2x^2+9$

3. 最終的な答え

$x^4+2x^2+9$

### 問題1 (5)

1. 問題の内容

$(x+y+z)^3 + (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2-xy-yz - zx)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、恒等式 $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ があります。

与えられた式を以下のように変形します。

$(x+y+z)^3 + (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = (x+y+z)^3 + x^3+y^3+z^3-3xyz$

ここで、 $(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2) + 6xyz$

したがって、

$(x+y+z)^3 + x^3+y^3+z^3-3xyz = 2(x^3+y^3+z^3) + 3(x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2) + 3xyz$

$=2(x^3+y^3+z^3) + 3(x+y)(y+z)(z+x)$

または、

$(x+y+z)^3 + (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = (x+y+z)[(x+y+z)^2 + (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)]$

$=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx + x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx]$

$=(x+y+z)[2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx]$

$=2x^3+2y^3+2z^3 + x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2+3xyz+3xyz = 2x^3+2y^3+2z^3 + x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2$

$2(x^3+y^3+z^3)+3(x+y)(y+z)(z+x)$

$2x^3 + 2y^3 + 2z^3 + x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2 + 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz +3xyz$

$(x+y+z)^3+(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 2x^3 + 2y^3 + 2z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 = 2(x^3+y^3+z^3) + 3(x+y)(y+z)(z+x)$.

3. 最終的な答え

$2(x^3+y^3+z^3) + 3(x+y)(y+z)(z+x)$

### 問題1 (6)

1. 問題の内容

$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

### 問題1 (7)

1. 問題の内容

$x^3 + 4x^2 - x - 4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^3 + 4x^2 - x - 4 = x^2(x + 4) - (x + 4) = (x^2 - 1)(x + 4) = (x - 1)(x + 1)(x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x + 1)(x + 4)$

### 問題1 (8)

1. 問題の内容

$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると $4(\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) - 7(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{2} + 1 - \frac{7}{2} + 2 = \frac{3}{2} - \frac{7}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$

したがって、$2x - 1$ を因数に持つ。

$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2 = (2x - 1)(2x^2 + 3x - 2) = (2x - 1)(2x - 1)(x + 2) = (2x - 1)^2 (x + 2)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)^2 (x + 2)$

### 問題2 (1)

1. 問題の内容

$x + x^{-1} = 5$ のとき、$x^4 + x^{-4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x + \frac{1}{x} = 5$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$

両辺を2乗すると、

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 23^2$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 529$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 527$

3. 最終的な答え

527

### 問題2 (2)

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 3$, $xy = \frac{1}{2}$ のとき、$(x - y)^{10}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 3 - 2(\frac{1}{2}) = 3 - 1 = 2$

$(x - y)^{10} = ((x - y)^2)^5 = 2^5 = 32$

3. 最終的な答え

32

### 問題3 (1)

1. 問題の内容

$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}} = \frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1})(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})} = \frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{(a^2+1)-(a^2-1)} = \frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{a(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1})}{2}$

### 問題3 (2)

1. 問題の内容

$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}-\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}-\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2})^2-(1-\sqrt{2})^2}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{(1+2\sqrt{2}+2)-(1-2\sqrt{2}+2)}{1-2} = \frac{4\sqrt{2}}{-1} = -4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-4\sqrt{2}$

### 問題3 (3)

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2+2\sqrt{2}+1} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$

$\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2-2\sqrt{2}+1} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$

$\frac{1}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

### 問題3 (4)

1. 問題の内容

$\frac{3+j2}{2+j}$ を実数化せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{3+2j}{2+j} = \frac{(3+2j)(2-j)}{(2+j)(2-j)} = \frac{6-3j+4j-2j^2}{4-j^2} = \frac{6+j+2}{4+1} = \frac{8+j}{5} = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}j$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5} + \frac{1}{5}j$

### 問題3 (5)

1. 問題の内容

$\left|\frac{3+j2}{2+j}\right|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\left|\frac{3+2j}{2+j}\right| = \frac{|3+2j|}{|2+j|} = \frac{\sqrt{3^2+2^2}}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{\sqrt{9+4}}{\sqrt{4+1}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{13}{5}} = \frac{\sqrt{65}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{65}}{5}$

### 問題4 (1)

1. 問題の内容

$\frac{x+3}{x^2+3x+2}$ を部分分数に分解せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{x+3}{x^2+3x+2} = \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$x+3 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、 $2 = A(1) + B(0) \Rightarrow A = 2$

$x = -2$ のとき、 $1 = A(0) + B(-1) \Rightarrow B = -1$

したがって、 $\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

### 問題4 (2)

1. 問題の内容

$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$ を部分分数に分解せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

$4x+1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+2)$

$4x+1 = Ax^2-Ax+A + Bx^2+2Bx+Cx+2C$

$4x+1 = (A+B)x^2 + (-A+2B+C)x + (A+2C)$

$A+B=0$, $-A+2B+C=4$, $A+2C=1$

$A=-B$, $-(-B)+2B+C=3B+C=4$, $-B+2C=1$

$6C-B=8$, $-B+2C=1$

$4C = 7, C=7/4$

$B = 2C-1=14/4-4/4=10/4=5/2$, $A=-5/2$

$\frac{-5/2}{x+2} + \frac{(5/2)x+(7/4)}{x^2-x+1}$

$=\frac{-10}{2(x+2)} + \frac{10x+7}{4(x^2-x+1)}=\frac{-10(x^2-x+1)+(10x+7)(x+2)}{4(x+2)(x^2-x+1)}$

$=\frac{-10x^2+10x-10+10x^2+20x+7x+14}{4(x+2)(x^2-x+1)}=\frac{4x+1}{}$

$x=-2: -8+1=A(4+2+1)=7A, A=-1$

$4x+1=-(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+2)=-x^2+x-1+Bx^2+2Bx+Cx+2C$

$x^2,0=-1+B, B=1$, $x, 4=1+2B+C = 1+2+C, C=1$

$\frac{-1}{x+2}+\frac{x+1}{x^2-x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x+2}+\frac{x+1}{x^2-x+1}$

### 問題4 (3)

1. 問題の内容

$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$ を部分分数に分解せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$x = A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)$

$x = A(x^2+2x+1) + B(x^2+3x+2) + C(x+2)$

$x = (A+B)x^2 + (2A+3B+C)x + (A+2B+2C)$

$A+B = 0$, $2A+3B+C = 1$, $A+2B+2C = 0$

$A=-B$, $-2B+3B+C = B+C=1$, $-B+2B+2C=B+2C=0$

$B+C=1$, $B+2C=0$, $C=-1$, $B=2$, $A=-2$

$\frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} + \frac{-1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

### 問題5 (1)

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} + \frac{D}{k+3}$ と部分分数分解しようとすると複雑になる。

より簡単な方法として、

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{(k+3) - k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{3}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$

したがって

$\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{2}{3}[\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}]$

$\sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{2}{3}\sum_{k=1}^n [\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}]$

$=\frac{2}{3}[\frac{1}{1\cdot2\cdot3} - \frac{1}{2\cdot3\cdot4} + \frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{3\cdot4\cdot5} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}]$

$=\frac{2}{3}[\frac{1}{6} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}]$

$=\frac{2}{3}[\frac{(n+1)(n+2)(n+3)-6}{6(n+1)(n+2)(n+3)}]$

$=\frac{2}{18}\frac{n^3 + 6n^2 + 11n+6-6}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{9}\frac{n(n^2+6n+11)}{(n+1)(n+2)(n+3)}$

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}[\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}] = \frac{1}{2}[\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2}]$

部分分数分解すると、

$\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3}[\frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}] =$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n^2+6n+11)}{9(n+1)(n+2)(n+3)}$

### 問題5 (2)

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}) = \frac{1}{2}[(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})]$

$=\frac{1}{2}[1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}] = \frac{1}{2}[\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}] = \frac{1}{2}[\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}] = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$