問題は2つの部分から構成されています。 (1) $x + x^{-1} = 5$ のとき、$x^4 + x^{-4}$ の値を求めます。 (2) $x^2 + y^2 = 3$、$xy = \frac{1}{2}$ のとき、$(x-y)^{10}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) $x + x^{-1} = 5$ のとき、$x^4 + x^{-4}$ の値を求めます。

(2) $x^2 + y^2 = 3$、$xy = \frac{1}{2}$ のとき、$(x-y)^{10}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x + x^{-1} = 5$ のとき、$x^4 + x^{-4}$ の値を求める。

まず、$x + \frac{1}{x} = 5$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 25$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$ の両辺を2乗します。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 23^2$

$(x^2)^2 + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + (\frac{1}{x^2})^2 = 529$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 529$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 527$

したがって、$x^4 + x^{-4} = 527$ です。

(2) $x^2 + y^2 = 3$、$xy = \frac{1}{2}$ のとき、$(x-y)^{10}$ の値を求める。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy$

与えられた値 $x^2 + y^2 = 3$ と $xy = \frac{1}{2}$ を代入します。

$(x-y)^2 = 3 - 2(\frac{1}{2}) = 3 - 1 = 2$

$(x-y)^2 = 2$

したがって、$(x-y)^{10} = ((x-y)^2)^5 = (2)^5 = 32$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + x^{-4} = 527$

(2) $(x-y)^{10} = 32$