逆三角関数$\cos^{-1}x$の微分を求める問題です。つまり、$(\cos^{-1}x)'$を計算します。

1. 問題の内容

逆三角関数$\cos^{-1}x$の微分を求める問題です。つまり、$(\cos^{-1}x)'$を計算します。

2. 解き方の手順

$y = \cos^{-1}x$とおきます。すると、$\cos y = x$となります。

両辺を$x$で微分します。

$\frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$

合成関数の微分より、

$-\sin y \frac{dy}{dx} = 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$より、$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y}$（ただし、$0 \le y \le \pi$なので、$\sin y \ge 0$）

$\cos y = x$だったので、$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$(\cos^{-1}x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$