与えられた関数 $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。商の微分公式は、$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられます。

この問題では、$u(x) = x^2$、 $v(x) = x^2 - 1$ となります。

それぞれの導関数は、

$u'(x) = 2x$

$v'(x) = 2x$

です。

したがって、商の微分公式を用いると、

$f'(x) = \left(\frac{x^2}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$f'(x) = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2 - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$