四角形ABCDにおいて、 (1) 対角線BDの長さを求める。 (2) 角BADの大きさを求める。 (3) 四角形ABCDの面積Sを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、

(1) 対角線BDの長さを求める。

(2) 角BADの大きさを求める。

(3) 四角形ABCDの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さ

三角形BCDにおいて、余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 25 - 12 = 13$

$BD = \sqrt{13}$

(2) 角BADの大きさ

三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$13 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos{\angle BAD}$

$13 = 1 + 8 - 4\sqrt{2} \cdot \cos{\angle BAD}$

$4 = -4\sqrt{2} \cdot \cos{\angle BAD}$

$\cos{\angle BAD} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\angle BAD = 135^\circ$

(3) 四角形ABCDの面積S

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin{135^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{\angle BCD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

したがって、四角形ABCDの面積Sは、$1 + 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{13}$

(2) $\angle BAD = 135^\circ$

(3) $S = 1 + 3\sqrt{3}$