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与えられた式を展開し、空欄に適切な数字を埋める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (1) $(x^3-4x^2+2x-5)(x-3) = x^4 - \boxed{1}x^3 + \boxed{23}x^2 - \boxed{45}x + \boxed{67}$ (2) $(x^2+3x-2)(3x^2-2x+1) = \boxed{8}x^4 + \boxed{9}x^3 - \boxed{1011}x^2 + \boxed{12}x - \boxed{13}$ (3) $(a+b-c-d)(a-b+c-d) = \boxed{14}$

代数学式の展開多項式
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた式を展開し、空欄に適切な数字を埋める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。
(1) (x3−4x2+2x−5)(x−3)=x4−1x3+23x2−45x+67(x^3-4x^2+2x-5)(x-3) = x^4 - \boxed{1}x^3 + \boxed{23}x^2 - \boxed{45}x + \boxed{67}
(2) (x2+3x−2)(3x2−2x+1)=8x4+9x3−1011x2+12x−13(x^2+3x-2)(3x^2-2x+1) = \boxed{8}x^4 + \boxed{9}x^3 - \boxed{1011}x^2 + \boxed{12}x - \boxed{13}
(3) (a+b−c−d)(a−b+c−d)=14(a+b-c-d)(a-b+c-d) = \boxed{14}

2. 解き方の手順

(1)
与えられた式を展開します。
(x3−4x2+2x−5)(x−3)(x^3-4x^2+2x-5)(x-3)
=x3(x−3)−4x2(x−3)+2x(x−3)−5(x−3)= x^3(x-3) - 4x^2(x-3) + 2x(x-3) - 5(x-3)
=x4−3x3−4x3+12x2+2x2−6x−5x+15= x^4 - 3x^3 - 4x^3 + 12x^2 + 2x^2 - 6x - 5x + 15
=x4−7x3+14x2−11x+15= x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 11x + 15
したがって、空欄は以下のようになります。
1: 7
23: 14
45: 11
67: 15
(2)
与えられた式を展開します。
(x2+3x−2)(3x2−2x+1)(x^2+3x-2)(3x^2-2x+1)
=x2(3x2−2x+1)+3x(3x2−2x+1)−2(3x2−2x+1)= x^2(3x^2-2x+1) + 3x(3x^2-2x+1) - 2(3x^2-2x+1)
=3x4−2x3+x2+9x3−6x2+3x−6x2+4x−2= 3x^4 - 2x^3 + x^2 + 9x^3 - 6x^2 + 3x - 6x^2 + 4x - 2
=3x4+7x3−11x2+7x−2= 3x^4 + 7x^3 - 11x^2 + 7x - 2
したがって、空欄は以下のようになります。
8: 3
9: 7
1011: 11
12: 7
13: 2
(3)
与えられた式を展開します。
(a+b−c−d)(a−b+c−d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)
=(a+(b−c−d))(a−(b−c−d))= (a + (b-c-d))(a - (b-c-d))
=a2−(b−c−d)2= a^2 - (b-c-d)^2
=a2−(b2+c2+d2−2bc−2bd+2cd)= a^2 - (b^2 + c^2 + d^2 - 2bc - 2bd + 2cd)
=a2−b2−c2−d2+2bc+2bd−2cd= a^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd
したがって、空欄は以下のようになります。
14: a2−b2−c2−d2+2bc+2bd−2cda^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd

3. 最終的な答え

(1)
1: 7
23: 14
45: 11
67: 15
(2)
8: 3
9: 7
1011: 11
12: 7
13: 2
(3)
14: a2−b2−c2−d2+2bc+2bd−2cda^2 - b^2 - c^2 - d^2 + 2bc + 2bd - 2cd

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