与えられた各2次方程式について、指定された条件（実数解を持つ、重解を持つ、異なる2つの実数解を持つ）を満たすような、$m$ の値または範囲を求める問題です。

## 問題の解答

以下に、与えられた2次方程式に関する問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた各2次方程式について、指定された条件（実数解を持つ、重解を持つ、異なる2つの実数解を持つ）を満たすような、$m$ の値または範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、判別式 $D$ を計算し、条件に応じて $D$ の不等式を立てて $m$ について解きます。

(1) 2次方程式 $2x^2 + x + m = 0$ が実数解をもつ条件

判別式 $D = 1^2 - 4(2)(m) = 1 - 8m$ 。実数解をもつためには $D \ge 0$ が必要です。

$1 - 8m \ge 0$

$8m \le 1$

$m \le \frac{1}{8}$

(2) 2次方程式 $x^2 + mx + m + 2 = 0$ が重解をもつ条件

判別式 $D = m^2 - 4(1)(m + 2) = m^2 - 4m - 8$ 。重解をもつためには $D = 0$ が必要です。

$m^2 - 4m - 8 = 0$

$m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$

(3) 2次方程式 $2x^2 + mx + 2m - 1 = 0$ が実数解をもつ条件

判別式 $D = m^2 - 4(2)(2m - 1) = m^2 - 16m + 8$ 。実数解をもつためには $D \ge 0$ が必要です。

$m^2 - 16m + 8 \ge 0$

$m = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{14}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{14}$

したがって、$m \le 8 - 2\sqrt{14}$ または $m \ge 8 + 2\sqrt{14}$

(4) 2次方程式 $x^2 + 3mx + 2m^2 + m - 1 = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件

判別式 $D = (3m)^2 - 4(1)(2m^2 + m - 1) = 9m^2 - 8m^2 - 4m + 4 = m^2 - 4m + 4$ 。異なる2つの実数解をもつためには $D > 0$ が必要です。

$m^2 - 4m + 4 > 0$

$(m - 2)^2 > 0$

$m \ne 2$

(5) 2次方程式 $x^2 + 3mx + m^2 + 3m - 1 = 0$ が重解をもつ条件

判別式 $D = (3m)^2 - 4(1)(m^2 + 3m - 1) = 9m^2 - 4m^2 - 12m + 4 = 5m^2 - 12m + 4$ 。重解をもつためには $D = 0$ が必要です。

$5m^2 - 12m + 4 = 0$

$(5m - 2)(m - 2) = 0$

$m = \frac{2}{5}, 2$

3. 最終的な答え

(1) $m \le \frac{1}{8}$

(2) $m = 2 \pm 2\sqrt{3}$

(3) $m \le 8 - 2\sqrt{14}$ または $m \ge 8 + 2\sqrt{14}$

(4) $m \ne 2$

(5) $m = \frac{2}{5}, 2$