整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R$ とするとき、$P(x)=(ax+b)Q(x)+R$ と表される。このとき、$x=-\frac{b}{a}$ を代入すると、$P(-\frac{b}{a})=R$ となることを確かめる。また、このことを利用して、$P(x)=2x^2-3x+1$ を $2x+1$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R$ とするとき、$P(x)=(ax+b)Q(x)+R$ と表される。このとき、$x=-\frac{b}{a}$ を代入すると、$P(-\frac{b}{a})=R$ となることを確かめる。また、このことを利用して、$P(x)=2x^2-3x+1$ を $2x+1$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)=(ax+b)Q(x)+R$ に $x=-\frac{b}{a}$ を代入する。

$P(-\frac{b}{a}) = (a(-\frac{b}{a})+b)Q(-\frac{b}{a}) + R$

$P(-\frac{b}{a}) = (-b+b)Q(-\frac{b}{a}) + R$

$P(-\frac{b}{a}) = 0 \cdot Q(-\frac{b}{a}) + R$

$P(-\frac{b}{a}) = R$

(2) $P(x) = 2x^2 - 3x + 1$ を $2x+1$ で割った余りを求める。

$2x+1 = 0$ となる $x$ の値は $x = -\frac{1}{2}$ である。

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^2 - 3(-\frac{1}{2}) + 1$

$P(-\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{4}) + \frac{3}{2} + 1$

$P(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1$

$P(-\frac{1}{2}) = \frac{4}{2} + 1$

$P(-\frac{1}{2}) = 2 + 1$

$P(-\frac{1}{2}) = 3$

3. 最終的な答え

(1) $P(-\frac{b}{a})=R$となることの確認：上記参照

(2) $2x^2-3x+1$ を $2x+1$ で割った余り: 3