不等式 $2(a^2 + b^2) \ge (a-b)^2$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2(a^2 + b^2) \ge (a-b)^2$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の右辺を展開します。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

(2) 不等式の左辺から右辺を引きます。

$2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2a^2 + 2b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

$= a^2 + 2ab + b^2$

(3) 計算結果を整理します。

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

(4) $(a+b)^2$ は常に0以上です。

$(a+b)^2 \ge 0$

したがって、$2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 \ge 0$ となり、$2(a^2 + b^2) \ge (a-b)^2$ が証明されました。

(5) 等号が成り立つのは、$(a+b)^2 = 0$ のときです。

$(a+b)^2 = 0$

$a+b = 0$

$a = -b$

3. 最終的な答え

不等式 $2(a^2 + b^2) \ge (a-b)^2$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = -b$ のとき。