定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + 2x - 3) dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} (x^2 + 2x - 3) dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int (x^2 + 2x - 3) dx$ を計算します。

$x^2$ の積分は $\frac{1}{3}x^3$

$2x$ の積分は $x^2$

$-3$ の積分は $-3x$

よって、$\int (x^2 + 2x - 3) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + C$　（$C$は積分定数）

次に、積分範囲 $0$ から $2$ までの定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^2 + 2x - 3) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right]_0^2$

$= \left( \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 - 3(0) \right)$

$= \frac{8}{3} + 4 - 6 - 0$

$= \frac{8}{3} - 2$

$= \frac{8}{3} - \frac{6}{3}$

$= \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$