(1) 2点A(0, 3, 7), B(3, 3, 1)について、線分ABを4:3に外分する点Pの座標を求めよ。 (2) 3点A(4, 3, 5), B(6, 5, 7), C(-4, 1, -3)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2点A(0, 3, 7), B(3, 3, 1)について、線分ABを4:3に外分する点Pの座標を求めよ。

(2) 3点A(4, 3, 5), B(6, 5, 7), C(-4, 1, -3)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを$m:n$に外分する点Pの座標は、

$P = \frac{-nA + mB}{m - n}$で求められる。

今回は$m = 4, n = 3$であるから、

$P = \frac{-3A + 4B}{4 - 3} = -3A + 4B$となる。

$P_x = -3A_x + 4B_x = -3 * 0 + 4 * 3 = 12$

$P_y = -3A_y + 4B_y = -3 * 3 + 4 * 3 = -9 + 12 = 3$

$P_z = -3A_z + 4B_z = -3 * 7 + 4 * 1 = -21 + 4 = -17$

よって、$P(12, 3, -17)$

(2) 三角形ABCの重心Gの座標は、

$G = (\frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}, \frac{A_z + B_z + C_z}{3})$で求められる。

$G_x = \frac{4 + 6 + (-4)}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$G_y = \frac{3 + 5 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$G_z = \frac{5 + 7 + (-3)}{3} = \frac{9}{3} = 3$

よって、$G(2, 3, 3)$

3. 最終的な答え

(1) P(12, 3, -17)

(2) G(2, 3, 3)