ベクトル $\vec{a} = (1, 3, -2)$ と $\vec{b} = (2, -1, 3)$ について、以下の2つの値を求めます。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$)

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 3, -2)$ と $\vec{b} = (2, -1, 3)$ について、以下の2つの値を求めます。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$)

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の計算

ベクトルの内積は、各成分の積の和で計算されます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (3)(-1) + (-2)(3)$

$= 2 - 3 - 6$

$= -7$

(2) なす角 $\theta$ の計算

ベクトルの内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ が成り立ちます。

したがって、$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ となります。

まず、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$\cos \theta = \frac{-7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 120^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$

(2) なす角 $\theta = 120^\circ$