母標準偏差が0.5である母集団から、大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差が $\frac{1}{40}$ 以下になるような $n$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

母標準偏差が0.5である母集団から、大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差が $\frac{1}{40}$ 以下になるような $n$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差は、母集団の標準偏差 $\sigma$ と標本の大きさ $n$ を用いて、次のように表される。

$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、母集団の標準偏差 $\sigma$ は0.5であり、標本平均の標準偏差 $\sigma_{\bar{X}}$ は $\frac{1}{40}$ 以下である必要がある。したがって、次の不等式が成り立つ。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{40}$

$\sigma = 0.5 = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\frac{1}{2\sqrt{n}} \le \frac{1}{40}$

両辺の逆数をとると(不等号の向きが変わることに注意)、

$2\sqrt{n} \ge 40$

$\sqrt{n} \ge 20$

両辺を2乗すると、

$n \ge 400$

したがって、$n$ の最小値は400である。

3. 最終的な答え

400