3点A(1, 0, 2), B(2, -1, 0), C(x, y, 6) が一直線上にあるとき、x, y の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(1, 0, 2), B(2, -1, 0), C(x, y, 6) が一直線上にあるとき、x, y の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AC}$ が平行であるということです。つまり、$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ が存在します。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算します。

$\overrightarrow{AB} = (2-1, -1-0, 0-2) = (1, -1, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (x-1, y-0, 6-2) = (x-1, y, 4)$

次に、$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ を満たす $k$ を求めます。

$(x-1, y, 4) = k(1, -1, -2) = (k, -k, -2k)$

成分ごとに比較すると、次の3つの式が得られます。

$x-1 = k$ (1)

$y = -k$ (2)

$4 = -2k$ (3)

式(3)から $k$ の値を求めます。

$k = -2$

この $k$ の値を式(1)と式(2)に代入して、$x$ と $y$ の値を求めます。

$x - 1 = -2$ より $x = -1$

$y = -(-2)$ より $y = 2$

3. 最終的な答え

$x = -1, y = 2$