3つのサイコロA, B, Cを同時に投げたとき、それぞれの出た目をX, Y, Zとする。 (1) $X = Y = Z$ となる確率を求めよ。 (2) X, Y, Zのうち、少なくとも1つが5以上となる確率を求めよ。 (3) $X < Y < Z$ となる確率を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

3つのサイコロA, B, Cを同時に投げたとき、それぞれの出た目をX, Y, Zとする。

(1) $X = Y = Z$ となる確率を求めよ。

(2) X, Y, Zのうち、少なくとも1つが5以上となる確率を求めよ。

(3) $X < Y < Z$ となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X = Y = Z$となるのは、3つのサイコロの目がすべて同じになる場合である。サイコロの目の出方は6通りなので、$(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)$の6通りである。

3つのサイコロの目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りなので、確率は $\frac{6}{216}$ となる。

(2) 少なくとも1つが5以上となる確率を求めるには、余事象を考えると良い。つまり、X, Y, Zすべてが4以下となる確率を求め、1から引く。

X, Y, Zがすべて4以下となる確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{64}{216}$である。

したがって、求める確率は $1 - \frac{64}{216} = \frac{216 - 64}{216} = \frac{152}{216}$となる。

(3) $X < Y < Z$ となる確率を求める。

X, Y, Zはそれぞれ1から6の値をとるので、$X < Y < Z$となる組み合わせの数を数える。

$X = 1$のとき、$(Y, Z) = (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)$の10通り

$X = 2$のとき、$(Y, Z) = (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)$の6通り

$X = 3$のとき、$(Y, Z) = (4,5), (4,6), (5,6)$の3通り

$X = 4$のとき、$(Y, Z) = (5,6)$の1通り

したがって、組み合わせの数は $10 + 6 + 3 + 1 = 20$通りである。

確率は $\frac{20}{216}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

(2) $\frac{152}{216} = \frac{19}{27}$

(3) $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$