実数 $x, y$ が条件 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たしながら動くとき、$x^2y + xy^2 + xy - 2x - 2y$ がとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が条件 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たしながら動くとき、$x^2y + xy^2 + xy - 2x - 2y$ がとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = x^2y + xy^2 + xy - 2x - 2y$ とおく。

$f(x, y)$ を因数分解すると、

$f(x, y) = xy(x+y+1) - 2(x+y)$

となる。

$x+y = s$, $xy = t$ とおくと、

$f(x, y) = ts + t - 2s = s(t-2) + t$

である。

条件 $x^2+y^2 \leq 1$ より、 $(x+y)^2 - 2xy \leq 1$ なので、 $s^2 - 2t \leq 1$ となる。

したがって、$2t \geq s^2 - 1$ である。また、$x, y$ は実数なので、 $s^2 - 4t \leq 0$ である。

したがって、$s^2 - 4t \leq 0$ より、$t \geq \frac{s^2}{4}$ である。

これらより、$s^2 - 1 \leq 2t \leq \frac{s^2}{2}$ が得られる。

すなわち、$s^2 - 1 \leq \frac{s^2}{2}$ である。

よって、$s^2 \leq 2$, つまり $-\sqrt{2} \leq s \leq \sqrt{2}$ である。

さらに、$x, y$ が条件 $x^2+y^2 \leq 1$ を満たす時、$|x+y| = |s| \leq \sqrt{2(x^2+y^2)} \leq \sqrt{2}$ なので、$-\sqrt{2} \leq s \leq \sqrt{2}$ となる。

$f(x, y) = s(t-2) + t = st - 2s + t$

$2t \geq s^2 - 1$ なので、$t \geq \frac{s^2 - 1}{2}$

$4t \leq s^2$ なので、$t \leq \frac{s^2}{4}$

したがって、$\frac{s^2 - 1}{2} \leq t \leq \frac{s^2}{4}$

$f(x, y) = st - 2s + t$ を $t$ の関数とみなすと、

$g(t) = st + t - 2s = (s+1)t - 2s$

$s > -1$ のとき、$t$ が最大値 $\frac{s^2}{4}$ をとるとき、$g(t)$ は最大となる。

$t$ が最小値 $\frac{s^2 - 1}{2}$ をとるとき、$g(t)$ は最小となる。

$s < -1$ のとき、$t$ が最小値 $\frac{s^2 - 1}{2}$ をとるとき、$g(t)$ は最大となる。

$t$ が最大値 $\frac{s^2}{4}$ をとるとき、$g(t)$ は最小となる。

$s = -1$ のとき、$g(t) = 2$ である。

$t = \frac{s^2}{4}$ のとき、$g(t) = (s+1)\frac{s^2}{4} - 2s = \frac{s^3 + s^2 - 8s}{4}$

$t = \frac{s^2 - 1}{2}$ のとき、$g(t) = (s+1)\frac{s^2 - 1}{2} - 2s = \frac{(s+1)(s^2 - 1) - 4s}{2} = \frac{s^3 + s^2 - 5s - 1}{2}$

$h(s) = \frac{s^3 + s^2 - 8s}{4}$, $k(s) = \frac{s^3 + s^2 - 5s - 1}{2}$ とおく。

$h'(s) = \frac{3s^2 + 2s - 8}{4} = 0$ となるのは、$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{3} = \frac{-1 \pm 5}{3} = \frac{4}{3}, -2$

$k'(s) = \frac{3s^2 + 2s - 5}{2} = 0$ となるのは、$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{16}}{3} = \frac{-1 \pm 4}{3} = 1, -\frac{5}{3}$

$s = \sqrt{2}$ のとき、$h(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} + 2 - 8\sqrt{2}}{4} = \frac{2 - 6\sqrt{2}}{4} = \frac{1 - 3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1 - 3(1.414)}{2} \approx -1.621$

$s = \sqrt{2}$ のとき、$k(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} + 2 - 5\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{1 - 3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1 - 3(1.414)}{2} \approx -1.621$

$s = -2$ のとき、$h(-2) = \frac{-8 + 4 + 16}{4} = 3$

$s = -5/3$ のとき、$k(-5/3) = \frac{-125/27 + 25/9 + 25/3 - 1}{2} = \frac{-125 + 75 + 225 - 27}{54} = \frac{148}{54} = \frac{74}{27} \approx 2.74$

$s = 1$ のとき、$k(1) = \frac{1 + 1 - 5 - 1}{2} = -2$

$s = 4/3$ のとき、$h(4/3) = \frac{64/27 + 16/9 - 32/3}{4} = \frac{64 + 48 - 288}{108} = \frac{-176}{108} = \frac{-44}{27} \approx -1.63$

円周上の点 $(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$ を考える。

$f(\theta) = \cos^2\theta \sin\theta + \cos\theta \sin^2\theta + \cos\theta\sin\theta - 2\cos\theta - 2\sin\theta = \cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta+1) - 2(\cos\theta+\sin\theta)$

$u = \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ なので、$-\sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}$

$\cos\theta\sin\theta = \frac{u^2 - 1}{2}$

$f(u) = \frac{u^2 - 1}{2}(u+1) - 2u = \frac{(u^2-1)(u+1) - 4u}{2} = \frac{u^3 + u^2 - u - 1 - 4u}{2} = \frac{u^3 + u^2 - 5u - 1}{2}$

$u = \sqrt{2}$ のとき、$f(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2} + 2 - 5\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{1 - 3\sqrt{2}}{2} \approx -1.621$

$u = -\sqrt{2}$ のとき、$f(-\sqrt{2}) = \frac{-2\sqrt{2} + 2 + 5\sqrt{2} - 1}{2} = \frac{1 + 3\sqrt{2}}{2} \approx 2.621$

3. 最終的な答え

$[-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}, 3]$

または $[-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}, \frac{1+3\sqrt{2}}{2}]$

範囲は $\left[ \frac{1 - 3\sqrt{2}}{2}, 3 \right]$

$\frac{1-3\sqrt{2}}{2}$ から $3$

最終的な答え：$[\frac{1 - 3\sqrt{2}}{2}, 3]$