三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=\sqrt{3}+1$, $C=60^\circ$ のとき、残りの辺の長さ$c$と角の大きさ$A$、$B$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=\sqrt{3}+1$, $C=60^\circ$ のとき、残りの辺の長さ$c$と角の大きさ$A$、$B$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$c$の長さを求めます。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ です。与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}+1) \cos 60^\circ$

$c^2 = 4 + (3 + 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3}+1) \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 4 + 4 + 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}+1)$

$c^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2$

$c^2 = 6$

$c > 0$より、$c = \sqrt{6}$

次に、正弦定理を用いて角$A$を求めます。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ です。与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin A = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0^\circ < A < 180^\circ$より、$A = 45^\circ$ または $A = 135^\circ$

$A = 135^\circ$ のとき、$A + C = 135^\circ + 60^\circ = 195^\circ > 180^\circ$ となり、三角形の内角の和が180度を超えるので不適。よって、$A = 45^\circ$。

最後に、三角形の内角の和$A + B + C = 180^\circ$を用いて角$B$を求めます。

$B = 180^\circ - A - C$

$B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ$

$B = 75^\circ$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{6}$

$A = 45^\circ$

$B = 75^\circ$