$m, n$ は正の整数とします。 (1) $n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3-1$ が $7$ の倍数であることの十分条件だが、必要条件でないことを示します。 (2) $m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であることの必要条件だが、十分条件でないことを示します。

1. 問題の内容

$m, n$ は正の整数とします。

(1) $n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3-1$ が $7$ の倍数であることの十分条件だが、必要条件でないことを示します。

(2) $m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であることの必要条件だが、十分条件でないことを示します。

2. 解き方の手順

(1)

(十分性): $n-1$ が $7$ の倍数であるとき、$n-1=7k$ (kは整数)と表せる。このとき、$n=7k+1$ であるから、

$n^3 - 1 = (7k+1)^3 - 1 = (7k)^3 + 3(7k)^2 + 3(7k) + 1 - 1 = 7(49k^3 + 21k^2 + 3k)$

となり、$n^3 - 1$ は $7$ の倍数となる。したがって、$n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3 - 1$ が $7$ の倍数であるための十分条件である。

(必要性でないこと): $n^3 - 1$ が $7$ の倍数であっても、$n-1$ が $7$ の倍数とは限らないことを示す。

$n^3 - 1 = (n-1)(n^2+n+1)$ である。$n=2$ のとき、$n^3-1 = 2^3-1 = 7$ となり、$n^3 - 1$ は $7$ の倍数となる。しかし、$n-1 = 2-1 = 1$ は $7$ の倍数ではない。したがって、$n^3 - 1$ が $7$ の倍数であることは、$n-1$ が $7$ の倍数であるための必要条件ではない。

(2)

(必要性): $m^2$ が $n^2$ の倍数であるとき、$m^2 = k n^2$ (kは整数)と表せる。

このとき、$m^2$ は明らかに $n$ の倍数である。

例えば、$k n = \ell$ となる整数 $\ell$ が存在する場合、$m^2$ は $n$ の倍数になる。

$m^2$ が $n^2$ の倍数であるとき、$m^2 = k n^2 = n (kn)$ となり、$m^2$ は $n$ の倍数となる。

したがって、$m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であるための必要条件である。

(十分性でないこと): $m^2$ が $n$ の倍数であっても、$m^2$ が $n^2$ の倍数とは限らないことを示す。

例えば、$m=2, n=2$ とすると、$m^2 = 4$ であり、$m^2$ は $n=2$ の倍数である。

しかし、$m^2 = 4$ は $n^2 = 4$ の倍数である。この場合は十分条件を満たす。

$m=6, n=12$ とすると、$m^2=36$ であり、$m^2$ は $n=12$ の倍数である。

しかし、$m^2=36$ は $n^2 = 144$ の倍数ではない。したがって、$m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であるための十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3-1$ が $7$ の倍数であることの十分条件だが、必要条件ではない。

(2) $m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であることの必要条件だが、十分条件ではない。