角 $\alpha$ が第4象限にあり、$\tan \alpha = -\frac{1}{2}$ であるとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

角 $\alpha$ が第4象限にあり、$\tan \alpha = -\frac{1}{2}$ であるとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{1}{2}$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ の関係を利用する。

$\cos \alpha$ を使って $\sin \alpha$ を表すと $\sin \alpha = -\frac{1}{2}\cos \alpha$ となる。

これを $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ に代入する。

$(-\frac{1}{2}\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{1}{4}\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{5}{4}\cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = \frac{4}{5}$

$\cos \alpha = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\alpha$ が第4象限の角なので、$\cos \alpha > 0$ である。

したがって $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

$\sin \alpha = -\frac{1}{2}\cos \alpha = -\frac{1}{2} \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$。

次に、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) \times (\frac{2\sqrt{5}}{5}) = -\frac{4 \times 5}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{4 \times 5}{25} - \frac{5}{25} = \frac{20}{25} - \frac{5}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin 2\alpha = -\frac{4}{5}$

$\cos 2\alpha = \frac{3}{5}$