2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ において、1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ において、1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$ と $3\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 3\alpha = -4$

$\alpha \cdot 3\alpha = m$

1つ目の式から、

$4\alpha = -4$

$\alpha = -1$

これを2つ目の式に代入すると、

$m = 3\alpha^2 = 3(-1)^2 = 3$

よって、$m = 3$ である。

このとき、2次方程式は $x^2 + 4x + 3 = 0$ となる。

これは $(x+1)(x+3) = 0$ と因数分解できるので、

解は $x = -1, -3$ となる。

$\alpha = -1$ なので、2つの解は $\alpha = -1$ と $3\alpha = -3$ となる。

3. 最終的な答え

$m = 3$

2つの解は $x = -1, -3$