$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ の $0 \le x \le 2$ における最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ の $0 \le x \le 2$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2ax) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

したがって、この2次関数の頂点は $(a, -2a^2 - a)$ であり、下に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

最大値は、軸 $x = a$ の位置によって異なる。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $x$ が大きいほど $y$ の値は大きくなるので、$x = 2$ で最大値をとる。

$y(2) = 2(2^2) - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ において、端点 $x = 0$ または $x = 2$ で最大値をとる。

$y(0) = -a$

$y(2) = 8 - 9a$

$y(0) - y(2) = -a - (8 - 9a) = 8a - 8 = 8(a - 1)$

$a < 1$ のとき、$y(0) < y(2)$ より $x = 2$ で最大値 $8 - 9a$ をとる。

$a = 1$ のとき、$y(0) = y(2)$ より $x = 0, 2$ で最大値 $-1$ をとる。

$a > 1$ のとき、$y(0) > y(2)$ より $x = 0$ で最大値 $-a$ をとる。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $x$ が小さいほど $y$ の値は大きくなるので、$x = 0$ で最大値をとる。

$y(0) = -a$

まとめる。

$a < 0$ のとき、最大値 $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値 $8 - 9a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値 $-a$

$a > 2$ のとき、最大値 $-a$

したがって、

$a \le 1$ のとき、最大値 $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値 $-a$

3. 最終的な答え

$a \le 1$ のとき、最大値 $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値 $-a$