2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が 1 の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が 1 の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

次に、求める2次方程式の解が $\alpha - 1$ と $\beta - 1$ であるから、これらの和と積を計算する。

和は、

$$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2 - 2 = -4$$

積は、

$$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = \frac{1}{2} - (-2) + 1 = \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$$

$x^2$ の係数が1の2次方程式は、$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$ と表されるので、

$$x^2 - (-4)x + \frac{7}{2} = 0$$

$$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$