正の整数 $a, b, n$ の組を求める問題です。ただし、以下の条件を満たす必要があります。 * $n \ge 2$ * $b$ は素数 * $a^2 = b^n + 225$

1. 問題の内容

正の整数 $a, b, n$ の組を求める問題です。ただし、以下の条件を満たす必要があります。

* $n \ge 2$

* $b$ は素数

* $a^2 = b^n + 225$

2. 解き方の手順

与えられた式を変形します。

$a^2 = b^n + 225$ より、

$a^2 - b^n = 225$

$n = 2$ のときを考えます。

$a^2 - b^2 = 225$

$(a - b)(a + b) = 225 = 1 \cdot 225 = 3 \cdot 75 = 5 \cdot 45 = 9 \cdot 25 = 15 \cdot 15$

$a - b = 1, a + b = 225$ のとき、$2a = 226$ より $a = 113, b = 112$ となり、$b$ が素数でないので不適。

$a - b = 3, a + b = 75$ のとき、$2a = 78$ より $a = 39, b = 36$ となり、$b$ が素数でないので不適。

$a - b = 5, a + b = 45$ のとき、$2a = 50$ より $a = 25, b = 20$ となり、$b$ が素数でないので不適。

$a - b = 9, a + b = 25$ のとき、$2a = 34$ より $a = 17, b = 8$ となり、$b$ が素数でないので不適。

$a - b = 15, a + b = 15$ のとき、$2a = 30$ より $a = 15, b = 0$ となり、$b$ が正の整数でないので不適。

$n = 3$ のときを考えます。

$a^2 - b^3 = 225$

$b = 2$ のとき、$a^2 = 8 + 225 = 233$ となり、$a$ が整数にならないので不適。

$b = 3$ のとき、$a^2 = 27 + 225 = 252$ となり、$a$ が整数にならないので不適。

$b = 5$ のとき、$a^2 = 125 + 225 = 350$ となり、$a$ が整数にならないので不適。

$b = 7$ のとき、$a^2 = 343 + 225 = 568$ となり、$a$ が整数にならないので不適。

$b = 2$ のとき、$a^2 = 2^n + 225$ です。$n \ge 2$ なので、$a^2 \equiv 225 \pmod{4}$ となります。$a^2 \equiv 1 \pmod{4}$ となります。 $225 = 15^2$.

$a^2 - 225 = b^n$

$(a - 15)(a + 15) = b^n$

$a - 15 = b^x, a + 15 = b^y, x + y = n, x < y$

$b^y - b^x = 30$

$b^x (b^{y-x} - 1) = 30$

$b = 2$ のとき、$2^x(2^{y-x} - 1) = 30 = 2 \cdot 15$. よって $x = 1$ で、$2^{y-x} - 1 = 15$。つまり、$2^{y-1} = 16 = 2^4$。したがって、$y-1 = 4$ で $y = 5$.

$n = x + y = 1 + 5 = 6$.

$a - 15 = 2, a = 17$.

$a^2 = 17^2 = 289$

$b^n + 225 = 2^6 + 225 = 64 + 225 = 289 = a^2$

したがって、$a = 17, b = 2, n = 6$ が解の一つ。

$b = 3$ のとき、$3^x (3^{y-x} - 1) = 30 = 3 \cdot 10$. よって $x = 1$ で、$3^{y-x} - 1 = 10$。つまり、$3^{y-1} = 11$. 解なし。

$b = 5$ のとき、$5^x (5^{y-x} - 1) = 30 = 5 \cdot 6$. よって $x = 1$ で、$5^{y-x} - 1 = 6$。つまり、$5^{y-1} = 7$. 解なし。

3. 最終的な答え

$(a, b, n) = (17, 2, 6)$