関数 $y = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用する。

まず、合成関数の微分公式を使う。

$u = \frac{x}{a}$ とおくと、$y = \frac{1}{a} \tan^{-1}(u)$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ である。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{a(1+u^2)}$

$u = \frac{x}{a}$ より、 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{a}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a(1+u^2)} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2(1+u^2)}$

ここで、$u = \frac{x}{a}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^2\left(1+\left(\frac{x}{a}\right)^2\right)} = \frac{1}{a^2\left(1+\frac{x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2\left(\frac{a^2+x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^2 + x^2}$