与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (1 + x^2)^{\frac{1}{\log x}}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + x^2)^{\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $L$ とおきます。

$L = \lim_{x \to \infty} (1 + x^2)^{\frac{1}{\log x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\log L = \lim_{x \to \infty} \log \left( (1 + x^2)^{\frac{1}{\log x}} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} \log (1 + x^2)$

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + x^2)}{\log x}$

ここで、ロピタルの定理を適用します。

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{1 + x^2}$

さらに、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\log L = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{1}{x^2} + 1} = \frac{2}{0 + 1} = 2$

したがって、

$\log L = 2$

$L = e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$