以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} + 0} \frac{\cos 2x}{(x - \frac{\pi}{4})^2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} + 0} \frac{\cos 2x}{(x - \frac{\pi}{4})^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x - \frac{\pi}{4} = t$ と置換します。すると、$x = t + \frac{\pi}{4}$ となり、$x \to \frac{\pi}{4} + 0$ のとき $t \to 0 + 0$ すなわち $t \to 0$となります。

したがって、極限は

$\lim_{t \to 0} \frac{\cos(2(t + \frac{\pi}{4}))}{t^2}$

となります。

$\cos(2(t + \frac{\pi}{4})) = \cos(2t + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2t)$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2t)}{t^2}$

となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(2t)}{2t} = 1$ を利用するために、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2t)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2t)}{2t} \cdot \frac{2t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2t)}{2t} \cdot \frac{2}{t}$

となります。

ここで、$t \to 0 + 0$ なので、$t$ は正の数であり、$\frac{2}{t}$ は正の無限大に発散します。したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2t)}{2t} \cdot \frac{2}{t} = -1 \cdot (+\infty) = -\infty$

となります。

3. 最終的な答え

$-\infty$