与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求める問題です。 (j) $y = x^{x^3}$ (k) $y = x^{\cos x}$ (l) $y = (\sin x)^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求める問題です。

(j) $y = x^{x^3}$

(k) $y = x^{\cos x}$

(l) $y = (\sin x)^x$

2. 解き方の手順

対数微分法を用いて解きます。

(j) $y = x^{x^3}$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{x^3}) = x^3 \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2 = x^2 (3 \ln x + 1)$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot x^2 (3 \ln x + 1) = x^{x^3} x^2 (3 \ln x + 1) = x^{x^3 + 2} (3 \ln x + 1)$

(k) $y = x^{\cos x}$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{\cos x}) = \cos x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x} = -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right) = x^{\cos x} \left( \frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x \right)$

(l) $y = (\sin x)^x$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln ((\sin x)^x) = x \ln (\sin x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \ln (\sin x) + x \cot x$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln (\sin x) + x \cot x \right) = (\sin x)^x (\ln (\sin x) + x \cot x)$

3. 最終的な答え

(j) $y' = x^{x^3 + 2} (3 \ln x + 1)$

(k) $y' = x^{\cos x} \left( \frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x \right)$

(l) $y' = (\sin x)^x (\ln (\sin x) + x \cot x)$