次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + 10 \cdot 2^{10}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + 10 \cdot 2^{10}$

2. 解き方の手順

$S = \sum_{k=1}^{10} k \cdot 2^k$ を求めます。

$S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 10 \cdot 2^{10}$

両辺に2を掛けます。

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + 9 \cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^{11}$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 10 \cdot 2^{10}) - (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + 9 \cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^{11})$

$-S = 1 \cdot 2 + (2 \cdot 2^2 - 1 \cdot 2^2) + (3 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^3) + \dots + (10 \cdot 2^{10} - 9 \cdot 2^{10}) - 10 \cdot 2^{11}$

$-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} - 10 \cdot 2^{11}$

$-S = \sum_{k=1}^{10} 2^k - 10 \cdot 2^{11}$

等比数列の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{10} 2^k = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{10} - 1) = 2^{11} - 2$

したがって、

$-S = 2^{11} - 2 - 10 \cdot 2^{11}$

$-S = -9 \cdot 2^{11} - 2$

$S = 9 \cdot 2^{11} + 2 = 9 \cdot 2048 + 2 = 18432 + 2 = 18434$

3. 最終的な答え

$S = 18434$