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次の極限を求めます： $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

解析学極限三角関数置換積分微積分
2025/6/24

1. 問題の内容

次の極限を求めます：
lim⁡x→∞xsin⁡1x\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}

2. 解き方の手順

まず、t=1xt = \frac{1}{x} と置換します。x→∞x \to \infty のとき、t→0t \to 0 となります。したがって、求める極限は次のようになります。
lim⁡x→∞xsin⁡1x=lim⁡t→01tsin⁡t=lim⁡t→0sin⁡tt\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}
lim⁡t→0sin⁡tt=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 はよく知られた極限です。

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞xsin⁡1x=1\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1

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