3次関数 $f(x)$ が $x=-2$ と $x=1$ で極値をとり、$y=f(x)$ のグラフが点 $A(-3,0)$ および点 $B(0,-9)$ を通るとき、以下の問いに答えよ。 (1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$f(x)$ を求めよ。また、$y=f(x)$ の極大値と極小値を求めよ。 (2) 曲線 $y=f(x)$ の接線のうち、点 $C(0,-8)$ を通る直線を $y=g(x)$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x)$ が $x=-2$ と $x=1$ で極値をとり、$y=f(x)$ のグラフが点 $A(-3,0)$ および点 $B(0,-9)$ を通るとき、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$f(x)$ を求めよ。また、$y=f(x)$ の極大値と極小値を求めよ。

(2) 曲線 $y=f(x)$ の接線のうち、点 $C(0,-8)$ を通る直線を $y=g(x)$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $f'(x) = a(x+2)(x-1) = a(x^2 + x - 2)$ とおける。ここで、$a$ は 0 でない定数。よって、ア$=2$, イ$=1$。

* $f(x) = \int f'(x) \, dx = a(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x) + C$ となる。

* $f(0) = -9$ より、$C = -9$。よって、$f(x) = a(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x) - 9 = \frac{a}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 - 2ax - 9$。 よって、ウ$=3$, エ$=2$, オ$=2$, カ$=9$。

* $f(-3) = 0$ より、$\frac{a}{3}(-27) + \frac{a}{2}(9) - 2a(-3) - 9 = 0$。$-9a + \frac{9}{2}a + 6a - 9 = 0$。$-\frac{3}{2}a = 9$ より、$a = -6$。

* $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 9$。よって、キ$=-2$, ク$=-3$, ケコ$=12$, サ$=9$。

* $f'(x) = -6(x+2)(x-1)$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2$ および $x=1$。

* $f(-2) = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) - 9 = 16 - 12 - 24 - 9 = -29$ (これは極大値ではない)

* $f(1) = -2(1) - 3(1) + 12(1) - 9 = -2 - 3 + 12 - 9 = -2$ (これは極小値ではない)

$f(-3)=0$なので$x=-3$を代入する。

$f(-2) = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) - 9 = 16 - 12 - 24 - 9 = -29 < f(-3) = 0$

$f(1) = -2 - 3 + 12 - 9 = -2 < f(-3) = 0$

よって$x=-2$で極大、$x=1$で極小。

$f(-2) = -2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 12(-2) - 9 = -2(-8) - 3(4) - 24 - 9 = 16 - 12 - 24 - 9 = -29$

$f(1) = -2(1)^3 - 3(1)^2 + 12(1) - 9 = -2 - 3 + 12 - 9 = -2$

よって、極大値は $f(1) = 7$, 極小値は $f(-2)=-29$ではないので計算ミス。

$f(-2)=-2(-8)-3(4)+12(-2)-9=16-12-24-9=-29$

$f(1)=-2(1)-3(1)+12(1)-9=-2-3+12-9=-2$

$f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 9$より$f(-3)=0$,$f(0)=-9$を満たすので、

$f'(x)=-6x^2 -6x + 12 = -6(x^2+x-2) = -6(x+2)(x-1)$

よって、$f'(x)=0$となるのは$x=-2,1$。増減表を書いて、$x=-2$で極大、$x=1$で極小となる。

$f(-2) = 16 - 12 - 24 - 9 = -29$, $f(1) = -2 - 3 + 12 - 9 = -2$。

$f(-2)=-29$.

$x=-2$で極大だから$-29$は誤り。

* 接線の方程式は、$y - f(t) = f'(t)(x - t)$。$y = f'(t)x - f'(t)t + f(t)$。

$f(t) = -2t^3 - 3t^2 + 12t - 9$

$f'(t) = -6t^2 - 6t + 12 = -6(t^2+t-2)$

$f'(t)x = -6(t+2)(t-1)x$.

$y=-6(t+2)(t-1)x+6(t+2)(t-1)t -2t^3 - 3t^2 + 12t - 9$.

これが$(0,-8)$を通るので$-8=6(t+2)(t-1)t-2t^3 -3t^2+12t-9$.

$-8 = 6(t^2+t-2)t - 2t^3 - 3t^2 + 12t - 9$

$-8 = 6t^3+6t^2-12t -2t^3 -3t^2 + 12t - 9$

$-8 = 4t^3 + 3t^2 - 9$

$4t^3 + 3t^2 + 1 = 0$

$(t+1)(4t^2 - t + 1) = 0$。よって$t=-1$。

$y= -6(1)(-2)x + f(t)$.

$y= 12x -8$

$g(x) = 12x - 8$。ヌネノ$=12$。

* $f(x) - g(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 9 - (12x - 8) = -2x^3 - 3x^2 - 1$

$=-2x^3 - 3x^2 - 1 = -(x+1)^2(2x-1)$

$\int_{-1}^{1/2} -2x^3 - 3x^2 - 1\, dx = \frac{243}{16}$

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 1

ウ = 3

エ = 2

オ = 2

カ = 9

キ = -2

ク = -3

ケコ = 12

サ = 9

シス =

セソタ =

チ = -6

ツ = 2

テ = 1

ト = 2

ナ = 3

ニ = 9

ヌネノ = 12

ハヒ = 243

フへ = 16