以下の定積分が $A$ に依存しないことを示す問題です。 $$ \int_{0}^{2\pi/\omega} \cos^2(\omega t - A) dt $$

1. 問題の内容

以下の定積分が $A$ に依存しないことを示す問題です。

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\int_{0}^{2\pi/\omega} \cos^2(\omega t - A) dt

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2. 解き方の手順

$\cos^2(\omega t - A)$ を三角関数の公式を使って変形します。

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\cos^2(\omega t - A) = \frac{1 + \cos(2(\omega t - A))}{2}

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この式を積分します。

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\int_{0}^{2\pi/\omega} \cos^2(\omega t - A) dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} \frac{1 + \cos(2(\omega t - A))}{2} dt

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= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi/\omega} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi/\omega} \cos(2(\omega t - A)) dt

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= \frac{1}{2} \left[ t \right]_{0}^{2\pi/\omega} + \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2(\omega t - A))}{2\omega} \right]_{0}^{2\pi/\omega}

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= \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\omega} + \frac{1}{4\omega} \left[ \sin(2(\omega \cdot \frac{2\pi}{\omega} - A)) - \sin(2(\omega \cdot 0 - A)) \right]

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= \frac{\pi}{\omega} + \frac{1}{4\omega} \left[ \sin(4\pi - 2A) - \sin(-2A) \right]

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$\sin(4\pi - 2A) = \sin(-2A) = -\sin(2A)$ であるので、

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= \frac{\pi}{\omega} + \frac{1}{4\omega} \left[ -\sin(2A) - (-\sin(2A)) \right]

= \frac{\pi}{\omega} + \frac{1}{4\omega} \left[ -\sin(2A) + \sin(2A) \right] = \frac{\pi}{\omega}

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最終的な積分結果は $\frac{\pi}{\omega}$ となり、$A$ に依存しません。

3. 最終的な答え

積分結果は $A$ に依存しない。積分結果は $\frac{\pi}{\omega}$ である。