(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x-\pi)}{x-\pi}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1}$ それぞれの極限を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x-\pi)}{x-\pi}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1}$

それぞれの極限を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = x - \pi$ とおくと、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となる。よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x-\pi)}{x-\pi} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるから、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x-\pi)}{x-\pi} = 1$

(2) $x = 1 + t$ とおくと、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となる。よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi(1+t))}{t}$

$\sin(\pi(1+t)) = \sin(\pi + \pi t) = -\sin(\pi t)$ であるから、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\pi t)}{t} = -\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t}$

ここで、$\frac{\sin(\pi t)}{t} = \pi \cdot \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ と変形すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = 1$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t} = \pi \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = \pi$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1} = -\pi$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-\pi$