$\lim_{x \to 0} (1 - e^x)^x$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1 - e^x)^x$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の形を確認します。$x \to 0$のとき、$e^x \to 1$なので、$1 - e^x \to 0$となります。したがって、$(1 - e^x)^x$ は $0^0$ の不定形になります。そこで、自然対数をとって考えます。

$y = (1 - e^x)^x$とおくと、

$\ln y = x \ln (1 - e^x)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} x \ln (1 - e^x)$

これは、$0 \cdot (-\infty)$の不定形なので、$\frac{0}{0}$または$\frac{\infty}{\infty}$の形に変形して、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} x \ln (1 - e^x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - e^x)}{1/x}$

これは、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - e^x)}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-e^x}{1 - e^x}}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x x^2}{1 - e^x}$

これは、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を再度適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x x^2}{1 - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x x^2 + 2xe^x}{-e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = 0$

$\lim_{x \to 0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} (1 - e^x)^x = 1$